边形及更多边形，而最高等级的则是上百条边接近圆形的僧侣阶级。
上层阶级控制着整个平面国，他们制定着社会运转的规则。一般来说，中上层阶级的新生儿会比他的父亲多上一条边，因而获得阶级的提升。但是，这不适用于最底层的工人和士兵三角形们，他们的后代只会提升一点点锐角的角度，让他们不断接近等边三角形。这种永远无法提升阶级的微型形变虽然不公，但也让他们单调邋遢的生命中有了虚假的希望之光。
而对贵族阶级而言，底层的这种进化不仅不影响他们的特权，还能有效防止底层阶级革命。通过明智的利用自然法则，上层阶级几乎总能将暴乱扼杀在萌芽状态，因为他们懂得利用人心中的那既无法压抑也没有边际的希望之火。除此之外，还有一个最低等级的生物女人，他们只有一条边，甚至没有形状。由于活在二维世界，在平面国人民的眼中只能看到长短不一的线段，导致女人变得极其危险。因为直线段从特定角度看上去只有一个点，导致他们锋利的身体很容易刺入其他人的身体。
因此，平面国对于女性有着极为严苛的限制，她们走路时需要用专门的姿态发出让人警觉的声音，进入房间时也不能走男人走的正门，只能走一个专门通道。平面国发生过一次极其严重的社会事件，原本在视觉上，平面国是一个无色事件。因此，区分每个个体有多少条边是一门高深的学问，需要触觉、听觉和视觉结合，而这项学问掌握在高等阶级手中。
但一个五边形发现了绘出色彩的方法不久就传遍了整个国度。人们开始把不同的色彩涂在不同的边上，视觉辨识开始变得容易。这项技术导致高等阶级不再独享辨识、编数等学问的特权。更严重的是，最底层的女性可以通过色彩将自己伪装成与最顶层的僧侣相似。底层阶级觉醒了，他们开始要求既然各个阶级间已经相差无几，那么应该废除阶级制度，让所有人获得平等地位。
但顶层阶级巧妙地将阶级矛盾转化为底层阶级内部矛盾和性别对立，让底层阶级发生了内斗，死伤无数，最终成功镇压了底层阶级，废除了色彩的使用，只有少数顶层阶级会使用色彩。平面国再次变为无色世界。
在平面国1999年的倒数第二天。一个中产阶级的正方形在梦境中看到了一维世界。一维世界只存在于一条直线中，被称为线国。线国的男人是一小条线段，女人则是点，因为整个世界只是一条直线。线国人只能看见身边的人产生的点，而不能从他们旁边走过去，因为线国只有前后，而没有左右。线国人民辨别事物仅靠声音，婚姻和生育靠歌唱完成。因为男人是线段有两段，而女人只是一个点，因此一个男人会有两名妻子，他们交配的过程也是在无接触的唱歌之中完成的，唱歌之后会产下三个后代。在线国，国民的邻居永远是固定的，不喜欢也换不了。
当正方形来到献国以后，他试图向线国国王解释二维空间的概念，国王却认为是一派胡言，荒谬至极，他根本无法想象一个二维世界的存在，要挟要干掉正方形。正方形从梦中惊醒，第二天，也就是世界末的最后一天，正方形突然发现一个神奇的生物出现在了自家房间，这个生物竟是一个来自三维空间的球体，球体向正方形讲述三维的概念，正方形也认为是一派胡言，荒谬至极，甚至打算攻击球体。于是球体将正方形带入了三维世界。三维世界中的一切让正方形大开眼界，对它的认知产生了巨大的冲击。他能从三维世界俯瞰二维世界的一切。他第一次看见了平面国国民的真实形状，也看到了他们身体内部的结构。
球体甚至直接从三维世界跳入二维世界。在平面国的委员会中向委员们宣布三维世界的存在。委员们被这个神奇的高维生物
